I.
PENDAHULUAN
Pandangan terhadap ilmu fisika mulai berubah sejak peristiwa bencana
ultraviolet yang
melahirkan hipotesis Planck, kemudian dilanjutkan oleh teori kuantum cahaya
yang dipublikasikan oleh Einstein dan percobaan Efek Compton. Era ini kemudian
ditandai dengan lahirnya fisika kuantum.
Dalam bab ini kita mengembangkan persamaan matematika untuk gelombang berjalan secara umum tetapi berkonsentrasi pada kasus khusus yang paling berguna, gelombang harmonik. Fungsi gelombang harmonik kemudian dijabarkan
lebih lanjut untuk mewakili gelombang
elektromagnetik, yang meliputi gelombang
cahaya. Hasil dari elektromagnetis
menggambarkan gelombang elektromagnetik yang dipinjam untuk memungkinkan penentuan energi yang disampaikan oleh gelombang tersebut.
Dalam hal ini kami akan membahas secara langsung persamaan gelombang.
Persamaan gelombang satu dimensi, persamaan gelombang harmonik, bilangan
komplek, gelombang bidang,
gelombang bola, gelombang elektromagnetik, dan efek dopller.
II.
PEMBAHASAN
8-1 PERSAMAAN GELOMBANG SATU DIMENSI
Bentuk yang paling umum dari gelombang berjalan, dan persamaan diferensial yang memenuhi, dapat ditentukan dengan cara berikut. Pertimbangkan pertama pulsa satu dimensi gelombang bentuk umumnya, dijelaskan oleh y '= f (x'), tetap ke sistem koordinat O '(x', y '), seperti pada Gambar 8-1a. Pertimbangkan berikutnya bahwa sistem 0 ', bersama dengan pulsa, bergerak ke kanan sepanjang sumbu x pada seragam kecepatan v relatif terhadap sistem koordinat tetap, O (x, y), seperti pada Gambar 8-1b. Ketika bergerak, gerak pulsa diasumsikan untuk mempertahankan bentuknya. Setiap titik pada gerak pulsa, seperti P, dapat digambarkan oleh salah satu dari dua koordinat, x atau x ', di mana x' = x- vt. Koordinat di titik-y identik dalam sistem yang baik.
Gambar
8-1 Terjemahan pulsa gelombang
Dari
sudut pandang sistem koordinat stasioner, maka, pulsa bergerak
memiliki bentuk matematis:
y
= y’ = f(x’) = f(x-vt)
Jika
pulsa bergerak ke kiri , tanda v harus dibalik , sehingga secara umum dapat kita tulis:
y
= f(x ± vt) (8-1)
sebagai
bentuk umum dari gelombang berjalan. Perhatikan bahwa kita telah mengasumsikan x = x ' pada t = 0. Bentuk asli pulsa, y '=
f (x'), tidak
bervariasi tetapi ditemukan hanya
diterjemahkan di sepanjang arah x
dengan jumlah υt pada
waktu t. Fungsi f
adalah fungsi apapun, sehingga misalnya,
y = A sin (x-υt)
y = A (x+υt)2
y = e (x-υt)
semua mewakili
gelombang berjalan. Hanya yang pertama, bagaimanapun
juga merupakan kasus penting
dari gelombang periodik.
Kami
berharap berikutnya akan
ditemukan persamaan diferensial
parsial yang dipenuhi oleh
semua gelombang periodik
tersebut, tanpa mmperhatikan bahwa
fungsi tersebut merupakan fungsi f. Karena
y adalah fungsi dari
dua variabel, x dan t, kita menggunakan aturan rantai diferensiasi parsial dan ditulis sebagai berikut:
y= f (x’)
Dimana
x’ = x ± υt
Maka
Dengan
menggunakan aturan rantai, maka turunan ruang menjadi:
Mengulang
prosedur yang sama untuk menemukan turunan ke dua:
Dengan
demikian, turunan unuk waktu ditemukan:
Dengan
mengombinasikan kedua turunan, kita dapat menuliskan persamaan gelombang satu
dimensi,
Setiap
gelombang bentuk Pers. (8-1) harus memenuhi persamaan gelombang ( 8-2),
terlepas dari sifat fisik gelombang itu sendiri. Dengan demikian, untuk
menentukan apakah suatu fungsi yang diberikan x dan t merupakan gelombang
berjalan, itu sudah cukup untuk menunjukkan baik bahwa itu adalah bentuk umum
dari Pers. (8.1) atau yang memenuhi persamaan gelombang (8.2).
8-2 GELOMBANG HARMONIK
Gelombang harmonik yang melibatkan sinus atau fungsi cosinus,
y = A sincos [ k ( x ± υt ) ] (8-3)
Dimana A dan k adalah konstanta yang dapat bervariasi tanpa mengubah karakter harmonik gelombang. Ini adalah gelombang periodik, mewakili pulsa halus yang berulang tanpa henti. Gelombang semacam ini sering dihasilkan oleh osilator teredam menjalani gerak harmonik sederhana. Lebih penting, fungsi sinus dan cosinus bersama-sama membentuk sebuah persamaan lengkap dari fungsi yaitu, kombinasi linear dari istilah seperti pada pers.( 8-3 ) dapat ditemukan untuk mewakili bentuk gelombang periodik yang sebenarnya. Seperti serangkaian istilah yang disebut deret Fourier dan diperlakukan lebih lanjut pada sub-bab 12-1. Jadi kombinasi gelombang harmonik berpotensi mampu mewakili bentuk gelombang lebih yang rumit, bahkan serangkaian pulsa persegi panjang atau gelombang persegi.
Karena
sin x = cos (x - π / 2), satu-satunya perbedaan antara fungsi sinus dan kosinus
adalah relatif π / 2 radian. Gelombang
sinus yang digambarkan pada Gambar 8-2. Pada Gambar 8-2a, bagian dari gelombang
dengan amplitudo A ditunjukkan pada waktu yang tetap, seperti dalam snapshot,
pada Gambar 8-2b variasi waktu gelombang
adalah pada titik x tetap sepanjang gelombang. Pada Gambar 8-2a unit spasial
berulang gelombang ditampilkan sebagai λ panjang gelombang. Karena periodisitas
ini, meningkat sepanjang x dengan λ harus mereproduksi gelombang yang sama.
Secara matematis, gelombang direproduksi karena argumen fungsi sinus
dikemukakan oleh 2π. Secara simbolis,
A sin k [ ( x + λ ) + tf ] = A sin [ k ( x + υt ) +2 π ]
A sin k [ ( x + λ ) + tf ] = A sin [ k ( x + υt ) +2 π ]
atau
A sin ( kx + + kλ kυt ) = A sin ( kx + kυt + 2π )
A sin ( kx + + kλ kυt ) = A sin ( kx + kυt + 2π )
Diketahui bahwa k λ = 2 π , sehingga k konstanta propagasi berisi informasi mengenai panjang gelombang:
k
= 2π / λ (8-4)
Atau,
jika gelombang dilihat dari posisi tetap , seperti pada Gambar 8 - 2b, adalah
periodik dalam waktu dengan unit temporal yang berulang disebut periode T.
Meningkatkan semua t oleh T, bentuk gelombang direproduksi persis, sehingga
A sin k [x + υ (t + T)] = A sin [k (x + υt) + 2π]
atau
A sin (kx + kυt -kυT) = A sin (kx + kυt + 2π)
A sin k [x + υ (t + T)] = A sin [k (x + υt) + 2π]
atau
A sin (kx + kυt -kυT) = A sin (kx + kυt + 2π)
Jelas,
kυT = 2π, dan kami memiliki persamaan yang berhubungan dengan periode T untuk pergeseran k konstanta dan kecepatan gelombang υ. Informasi yang sama termasuk dalam relasi
υ = υ λ (8-5)
di mana kita telah menggunakan Pers.( 8-4 ) bersama-sama dengan hubungan timbal balik antara periode T dan frekuensi υ ,
υ = 1 / T (8-6)
υ = υ λ (8-5)
di mana kita telah menggunakan Pers.( 8-4 ) bersama-sama dengan hubungan timbal balik antara periode T dan frekuensi υ ,
υ = 1 / T (8-6)
Deskripsi
terkait parameter gelombang yang sering digunakan. Kombinasi ώ= 2πυ
disebut frekuensi sudut, dan kebalikan dari panjang gelombang k=1/λ disebut
bilangan gelombang. Dengan hubungan ini mudah untuk menunjukkan kesetaraan
bentuk umum berikut untuk gelombang harmonik:
y = A sincos [ k (x ± υt)] (8-7)
y = A sincos [ k (x ± υt)] (8-7)
y
= A sincos [2 π (x/ λ ± t/T)] (8-8)
y = A sincos
[kx (x ± ώ t)] (8-9)
8-3 BILANGAN KOMPLEKS
Dalam
banyak situasi terbukti menjadi nyaman untuk mewakili gelombang harmonik di
complex -nomor notasi. Untuk tujuan ini, pertama-tama kita meninjau secara
singkat bentuk-bentuk di mana kita dapat menulis sejumlah kompleks dan
hubungan-hubungan bilangan kompleks yang paling berguna i dinyatakan sebagai jumlah
dari bagian real dan imajiner,
z = x + iy (8-11)
Dimana bilangan real dan i v'IT . Bentuk
bilangan kompleks diberikan oleh Persamaan (8-11) juga dapat dilemparkan ke
bentuk polar . Mengacu pada Gambar 8-3, kompleks mati rasa er i diwakili dalam
hal bagian real dan imajiner di sepanjang sesuai sumbu . Besarnya , dilambangkan oleh II, juga disebut nilai
mutlak atau mod lu.c
r'2 = x'2 + y'2 (8-12)
Gambar 8-3 Grafik representasi bilangan kompleks real (Re) dan imajiner (Im)
Dari
dari Gambar 8-3 , a = l cos iby Oandh
- isin 0, itisal sopossible to express
1
= Pil ( coso + isinO )
(
8-13 )sehingga
(
8-14 )dimana
(
8-15 )
Kompleks
konjugasi Σ * hanyalah bilangan kompleks Σ dengan i diganti dengan - i. Jadi
jika ± = a + lb
(
8-16)
di
mana tanda bintang digunakan untuk menunjukkan konjugat kompleks. Sebuah
minitheor sangat berguna em bahwa produk dari sejumlah kompleks dengan konjugat
kompleks sama dengan kuadrat dari nilai mutlak. Menggunakan bentuk pol,
( 8-17 )
Akhirnya,
akan sangat membantu untuk daftar nilai-nilai e', menggunakan rumus Euler ,
Persamaan. ( 8-13 ), untuk sering terjadi kasus-kasus khusus .
8-4 GELOMBANG HARMONIK AS BILANGAN KOMPLEKS
Menggunakan rumus Euler, adalah mungkin untuk mengekspresikan gelombang harmonik dengan
(8-18)dimana
(8-19)dan
(8-20)Disajikan dalam bentuk Pers. (8-18), fungsi gelombang harmonik sehingga mencakup sinus dan cosinus gelombang sebagai bagian real dan imajiner. Perhitungan menggunakan bentuk kompleks impiictly membawa hasil yang benar untuk kedua sinus dan cosinus gelombang. Pada setiap titik dalam perhitungan tersebut, persamaan yang sesuai untuk bentuk baik dapat diekstraksi dengan mengambil nyata atau bagian imajiner dari kedua sisi persamaan. Karena matematika dengan fungsi eksponensial biasanya lebih sederhana dibandingkan dengan fungsi trigonometri, ii sering nyaman untuk berurusan dengan gelombang harmonik ditulis dalam bentuk Pers. (8-18).
8-5 GELOMBANG DATAR
Kami berharap sekarang untuk menggeneralisasi persamaan gelombang harmonik lebih lanjut sehingga dapat repres ent propagasi sepanjang segala arah di ruang angkasa. Karena arah sewenang-wenang inv olves tiga ruang koordinat x, y, dan z, kami mewakili displacerrent gelombang oleh Ji daripada y, misalnya,
( 8-21 )
Persamaan
(8-21) merupakan sebuah gelombang bergerak sepanjang + arah x. di waktu yang
tetap ( untuk kesederhanaan kita mengambil t = 0), luas spasial gelombang ini
(8-22)
Ketika
x = konstan, tahap p = kx = konstan. Dengan demikian permukaan fase konstan
adalah keluarga pesawat diberikan pada Gambar 8-5 . Permukaan fase konstan
merupakan wavifronts dari gangguan . Terbukti, saat itu, perpindahan gelombang
yang diberikan oleh 4c adalah sama untuk semua titik wavefront a. Gelombang
gangguan pada titik itrary arb dalam ruang , yang didefinisikan oleh vektor r
pada Gambar 8 - 6a , karena itu sama seperti untuk titik x sepanjang sumbu x,
di mana x = r cos 0. Persamaan. ( 8-22 ) kemudian dapat ditulis sebagai
Gambar 8-5 gelombang bidang sepanjang sumbu-x . Permukaan fase konstan adalah bidang x konstan. Gelombang menembus pesawat x a t = b . dan x c dititik yang ditunjukkan .
Gambar 8-6 Generalisasi dari gelombang pesawat ke arah yang sewenang-wenang. W diberikan oleh k vektor sepanjang sumbu x pada ( a) dan arah yang sewenang-wenang
Beberapa
hasil penyederhanaan jika konstan propagasi , yang besarnya 2ir / A telah
ditentukan dalam Pers . (8-4) , kini dianggap sebagai besaran vektor , menunjuk
ke arah propagasi . Kemudian kr cos 0 = k r , dan gelombang harmonik dari Pers
. (8-21) menjadi
(
8-23 )
Dalam
bentuk ini, persamaan (8-23) dapat mewakili gelombang bidang merambat dalam
ection dir sewenang-wenang yang diberikan oleh k, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 8-6b. dalam kasus umum, mana (ks, k,k1) adalah komponen dari arah
perambatan dan (x, y, z) komponen titik
dalam ruang di mana perpindahan IJI dievaluasi . Persamaan gelombang harmonik sekarang
menjadi persamaan gelombang tiga dimensi yang mungkin
juga dinyatakan dalam bentuk kompleks yaitu
(8-24)Persamaan diferensial parsial dipenuhi oleh gelombang tiga dimensi tersebut adalah realisasi dari Pers. (8-2) dalam bentuk
(8-25)
dengan
mudah dapat diverifikasi dengan menghitung turunan parsial kedua dari 4, dari
persamaan (8-24). Gelombang persamaan (8-25) sering ditulis lebih kompak dengan
memisahkan waktu turunan spasial dari fungsi gelombang 4',
memperlakukan mereka sebagai operator ,
dan
mendefinisikan seluruh operator dalam kurung sebagai operator Laplacian, sehingga Pers. (8-25) menjadi
(
8-26 )
8-6 GELOMBANG BOLA
Gangguan gelombang harmonik yang berasal dari sumber titik dalam perjalanan homogen ndium pada tingkat yang sama dalam segala arah. Permukaan fase konstan, yaitu, muka gelombang , yang kemudian permukaan bola berpusat pada sumbernya. Gelombang tersebut juga dapat diwakili oleh persamaan gelombang harmonik dikembangkan untuk gelombang pesawat, dengan satu modifikasi: Amplitudo harus dibagi dengan jarak r untuk memberikan.
(
8-27 )
Gelombang
bola, karena merambat jauh dari sumber, penurunan amplitudo, berbeda dengan
gelombang pesawat yang amplitudo konstan. Jika amplitudo di dist Ance r dari sumber
adalah A/r, maka radiasi (W/m2) dari gelombang ada prop ortional ke
(Air) 2, dan kita melihat bahwa kita hanya menggambarkan akrab persegi hukum
propagasi untuk gangguan gelombang bulat. Perhatikan bahwa dalam kasus ini arti
A harus hati-hati dijelaskan secara . Jelas, kita tidak bisa membiarkan amplit
ude untuk menjadi terbatas pada titik sumber, seperti r mendekati nol. Nilai A
harus sesuai dengan amplitudo gelombang pada satuan jarak ( r = 1 ) dari
sumber.
8-7
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
Persamaan gelombang harmonik dibahas sejauh ini dapat mewakili semua jenis gelombang mengganggu Ance yang bervariasi secara sinusoidal. Ini termasuk, misalnya, gelombang pada tali, gelombang air, dan gelombang suara. Persamaan berlaku untuk situasi tertentu secepat makna fisik perpindahan Ψ diidentifikasi. Jumlah Ji bisa merujuk ke perpindahan vertikal string atau variasi tekanan akibat gelombang suara merambat dalam gas. Untuk gelombang elektromagnetik yang dapat mewakili propagasi cahaya, Ψ singkatan salah satu dari medan listrik atau magnet yang merupakan gelombang. Gambar 8-7 menggambarkan sebuah gelombang bidang elektromagnetik berjalan dalam beberapa arah yang sewenang-wenang. Dari persamaan Maxwell , yang menggambarkan gelombang tersebut, kita tahu bahwa variasi harmonik dari medan listrik dan magnetik selalu tegak lurus satu sama lain dan terhadap arah propagasi diberikan oleh k, seperti yang disarankan oleh orthogonal set sumbu pada Gambar 8-7. Variasi ini dapat dijelaskan oleh persamaan gelombang harmonik dalam bentuk:
E = Eoe i(k.r-wt) ( 8-28 )
B = Boe i(k.r-wt) ( 8-29 )
di mana E
dan B mewakili medan listrik dan medan magnet, dan Eo dan B0
adalah amplitudo masing-masing dari keduanya. Kedua komponen dari gelombang
dengan sama pergeseran vektor k dan frekuensi w dan dengan demikian dengan
panjang gelombang dan kecepatan yang sama. Selanjutnya, teori elektromagnetik menjelaskan
bahwamedan amplitudo terkait dengan E0= cBO, di mana c
adalah kecepatan gelombang. Pada setiap waktu dan tempat yang ditentukan,
E = cb (
8-30 )
Dalam ruang bebas, kecepatan c diberikan oleh
Gambar 8-7
Gelombang elektronika bidang datar. Medan elektik E, medan magnet B, dan
perambatan vektor k yang saling tegak lurus.
dimana
konstanta ϵ0 dan μo masing-masing adalah permitivitas dan
permeabilitas dari vakum. Nilai ukur untuk konstanta ini , ϵ0= 8,8542
x 10-12 (C-s)2/kg-m3 dan μo= 4πx10-7kg-m
/(A-s)2, memberikan metode tidak langsung untuk menentukan kecepatan cahaya dalam ruang bebas
dan menghasilkan nilai c = 2,998 x l08 m/s.
Seperti
gelombang , tentu saja , merupakan transmisi energi. energi density (J/m3)
terkait dengan medan listrik di ruang bebas adalah
(
8-32 )
dan
kepadatan energi yang berkaitan dengan medan magnet dalam ruang bebas
(
8-33)Persamaan ini, mudah diperoleh untuk medan listrik statis ideal kapasitor dan
medan magnet statis dari suatu solenoid ideal, umumnya berlaku. Dengan memasukkan Pers.(8-30) dan (08-31) menjadi salah satu dari Pers. (8-32) atau (8-33), uE, dan uB yang terbukti sama. Misalnya, dimulai dengan Persamaan (8-33) ,
(8-34)
Energi
dari gelombang elektromagnetik karena itu dibagi rata antara medan listrik dan
magnetik penyusunnya. Total kepadatan energi adalah jumlah yang atau
(8-35)
Pertimbangkan
depan tingkat di mana energi yang diangkut oleh gelombang elektromagnetik, atau
kekuatannya. Dalam waktu, energi diangkut melalui penampang luas A ( Gambar 8-8
) adalah energi yang berkaitan dengan tV volume volumepersegi panjang cΔt .
demikian
( 8-36 )
Gambar 8-8 Aliran Energi gelombang elektromagnetik. Dalam waktu At , energi yang tertutup dalam volume persegi panjang mengalir di permukaan A.
atau
kekuatan ditransferper satuan
luas S, adalah
S = uc (
8-37 )
Kita
sekarang menjelaskan kepadatan energi u dalam hal E dan B , sebagai berikut, memanfaatkan
Pers.
( 8-31 ) dan ( 8-35 ) :
(
8-38 )Memasukkan hasil ini ke dalam Pers . ( 8-37 ) ,
(
8-39 )
Kekuatan
per satuan luas S. ketika ditugaskan arah perambatan, disebut Poynting vektor.
Karena arah ini adalah sama seperti yang dari produk silang dari ortogonal
vektor, E dan B, maka kita dapat menulis:
( 8-40 )
Karena
variasi cepat dari listrik dan medan magnet, frekuensinya adalah 1014
sampai l015 Hz dalam spektrumyang terlihat, besarnya vektor Poynting
di Persamaan (8-39) juga merupakan fungsi cepat variasi waktu. Dalam kebanyakan
kasus rata-rata waktu daya yang dikirim per satuan luas adalah semua yang diperlukan.
Kuantitas ini disebut penyinaran, Ee .
( 8-41 )di mana kurung sudut menunjukkan rata-rata waktu dan kami telah menyatakan bidang sebagai fungsi sinus fase . Rata-rata dari fungsi sin2ѳ atau cos2ѳ atas periodik mudah terbukti tepat 1/2, sehingga
( 8-42 )
Bentuk-bentuk
alternatif dari Pers. (8-42) disajikan untuk kasus ruang bebas. Mereka juga
berlaku untuk media indeks bias n jika e0 digantikan oleh n2εo
dan c digantikan oleh kecepatan c/n. Perhatikan bahwa perubahan ini
meninggalkan tinju dari alternatif bentuk yang bervariasi .
8-8 EFEK DOPPLER
Efek
Doppler dikenal pada gelombang suara yang memiliki pasangan dalam
gelombang cahaya , tetapi dengan sebuah perbedaan penting . Ingatlah bahwa
ketika berhadapan dengan gelombang suara, frekuensi yang jelas dari sumber meningkat
atau menurun tergantung pada gerak dari kedua sumber
dan pengamat sepanjang garis bergabung dengan mereka. Pergeseran frekuensi
akibat sumber bergerak didasarkan pada
perubahan panjang gelombang yang ditransmisikan. Pergeseran frekuensi akibat
pengamat bergerak didasarkan pada perubahan kecepatan gelombang suara relatif
terhadap pengamat. Dua efek secara fisik berbeda dan dijelaskan oleh persamaan
yang berbeda. Mereka juga pada dasarnya berbeda dari kasus gelombang cahaya.
Perbedaan antara efek Doppler dalam
suara dan gelombang cahaya lebih dari perbedaan kecepatan gelombang. Sedangkan
gelombang suara merambat melalui media materi, gelombang cahaya merambat di
vakum. Segera setelah media perambatan dihapus, tidak ada lagi dasar fisik untuk
perbedaan antara pengamat bergerak dan sumber bergerak. Ada satu gerakan
relatif antara mereka yang menentukan pergeseran frekuensi dalam efek Doppler
untuk cahaya. Penurunan efek Doppler untuk cahaya membutuhkan teori relativitas
khusus dan sebagainya tidak dilakukan di sini.
(8-43)
dimana
λ ' adalah Doppler bergeser - panjang gelombang dan v adalah kecepatan relatif
antara sumber dan pengamat . Tanda v positif ketika mereka mendekati satu sama
lain. Ketika v<< c , persamaan ini didekati dengan.
(8-44)
Efek
Doppler sangat penting ketika digunakan untuk menentukan kecepatan
sumber astronomi memancarkan radiasi elektromagnetik. Pergeseran merah adalah pergeseran panjang gelombang radiasi tersebut terhadap panjang gelombang lagi, karena kecepatan relatif dari sumber jauh dari kami (pengamat). Doppler memperluas garis spektrum yang merupakan aplikasi lain yang penting di mana atom yang bergerak cepat dari cahaya memancarkan gas dengan kedua kenaikan dan penurunan frekuensi akibat gerakan acak mereka terhadap dan jauh dari pengamat ketika melakukan pengukuran spektroskopi.
sumber astronomi memancarkan radiasi elektromagnetik. Pergeseran merah adalah pergeseran panjang gelombang radiasi tersebut terhadap panjang gelombang lagi, karena kecepatan relatif dari sumber jauh dari kami (pengamat). Doppler memperluas garis spektrum yang merupakan aplikasi lain yang penting di mana atom yang bergerak cepat dari cahaya memancarkan gas dengan kedua kenaikan dan penurunan frekuensi akibat gerakan acak mereka terhadap dan jauh dari pengamat ketika melakukan pengukuran spektroskopi.
Post a Comment