Metode euler

METODE EULER

Oleh

1. Randi Setiawan (1317041034)
2. Reni Septiana (1317041036)

     

JURUSAN FISIKA
FAKUTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2015

BAB I. PENDAHULUAN

Rumus Euler, dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. (Identitas Euler adalah kasus spesial dari rumus Euler.)
Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap bilangan real x,

dimana
adalah basis logaritm natural
adalah unit imajiner
dan  adalah fungsi trigonometri.
Richard Feynman menyebut rumus Euler sebagai "our jewel" dan "rumus terhebat dalam matematika"

Metode Euler juga salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

BAB II. PEMBAHASAN

A. Metode Euler

Dari persamaan differensial biasa (PDB) orde satu, diberikan persamaan :
y' = dy/dx = f(x, y) dan nilai awal y( ) = 

Misalkan:
  = y( ) merupakan hampiran nilai y di   yang dihitung dengan metode Euler. Dalam hal ini

  =   + rh,   r = 0,1,2,... n.

Metoda Euler diturunkan dengan cara menguraikan y( +1) di sekitar xr ke dalam deret Taylor:

y ( ) = y(  +     +     + …                   (1)

Jika persamaan diatas dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh :

y ( ) = y( ) +      (2)

Bila   dan  , maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi :

y(                                                 (3)

Dua suku pertama persamaan (3), yaitu

y( ) = y(  r =0, 1, 2, ….. n.                                        (4)

persamaan tersebut menyatakan metode Euler atau metode Euler-Cauchy. Metode Euler disebut juga metode orde-pertama, karena pada persamaan 3 kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja. Untuk menyederhanakan penulisan persamaan 4 dapat ditulis lebih singkat sebagai

Selain dengan bantuan deret Taylor, metode Euler juga dapat diturunkan dengan cara yang berbeda. Sebagai contoh, misalkan kita menggunakan aturan segiempat untuk mengintegrasi-kan f(x,y) pada persamaan diferensial

y' = f(x, y) ; y( ) = 

Integrasikan kedua ruas dalam selang [ ,  ]:

Gunakan aturan segiempat untuk mengintegrasikan ruas kanan, menghasilkan:

y( +1) - y( ) = hf( , y( ))
atau
y( ) = y( ) + hf( ,  )

yang merupakan metode Euler.

B.Analisis Galat Metode Euler

Ada dua macam galat dalam metode Euler sederhana yaitu galat pemotongan (truncation error) dan galat longgokan (cumulative error). Galat pemotongan dapat langsung ditentukan dari persamaan yaitu :

                                                (5)

Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga disebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan), semakin kecil pula galat hasil perhitungannya. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini disebut galat longgokan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari   dan berakhir di   maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (  adalah

   (6)

Galat longgokan total ini sebenarnya adalah

Persamaan 6 menyatakan bahwa galat longgkan sebanding dengan h. Ini berarti metode Euler memberikan hampiran solusi yang buruk, sehingga dalam praktek metode inikurang disukai, namun metode ini membantu untuk memahami gagasann dasar metode penyelesaian PDB dengan orde yang lebih tinggi.

Contoh 1 :
Diketahui PDB    = x + y dan y (0) = 1
Gunakan metode Euler untuk menghitung y (0,10) dengan ukuran langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) =   - x - 1.

Penyelesaian:
(i) Diketahui
a =   = 0
b = 0,10
h = 0,05
Dalam hal ini, f(x, y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi
  =   + 0.02( +  )

Langkah-langkah:
  = 0     = 1
  = 0,05  =  + 0.05(  +  ) = 1 + (0.05)(0 + 1) = 1.0050
  = 0,10    =   + 0.05(  +  ) = 1.0050 + (0.05)(0.05 + 1.0050)
= 1.05775

Jadi, y(0,10)  1.05775.

( Bandingkan dengan nilai solusi sejatinya, y(0,10) =   – 0,01 - 1 = 1,1103
sehingga galatnya adalah galat = 1,1103 – 1,05775 = 0,05255 )

(ii) Diketahui
a =   = 0
b = 0,10
h = 0,02

Dalam hal ini, f(x, y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi
  =   + 0,02( +  )

Langkah-langkah:

= 0     = 1
  = 0,02  =   + 0,02(  +  ) = 1 + (0,02)(0 + 1) = 1,0200
  = 0,04  =  + 0.02(  +  ) = 1,0200 + (0,02)(0,02 + 1,0200)
= 1,0408
= 0,06   = 1,0624
= 0,08  = 1,0848
= 0,10  = 1,1081

Jadi, y (0,10)   1,1081

(Bandingkan dengan solusi sejatinya, y (0,10) = 1,1103, sehingga galatnya adalah galat = 1,1103 – 1,1081 = 1,1081 ).

Contoh 2 :
Selesaikan persamaan differensial dy/dx=x√ypada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!

Untuk x = 0  y = 1
Untuk x = 0,25
yi+1= yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,1).0,25
= 1 + 0   0,25
= 1
Untuk x = 0,5
yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,25;1).0,25
=  1 + 0,25   . 0,25
= 1,0625
Untuk x = 0,75
yi+1= yi + f(xi, yi).h
= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25
= 1,0625 + 0,5   . 0,25
= 1,1914
Untuk x = 1
yi+1= yi + f(xi, yi).h
= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25
=  1,1914 + 0,75   . 0,25
= 1,3961

Pada saat x = 0; y = 1
2
Persamaan
2

Untuk x = 0,25
2
 
 
y = 1,0315

Untuk x = 0,5
 
 
y = 1,1289

Untuk x = 0,75
 
  = 1,140625
y = 1,3010

Untuk x = 1
 
 
y = 1,5625

x
0110 %
0,2511,03153,0538 %
0,51,06251,12895,8818 %
0,751,19141,30108,4243 %
11,39611,562510,6496 %

BAB III,. KESIMPULAN

Kesimpulannya, dalam deskripsi Euler, yang kita amati adalah besaran pada suatu titik tertentu yang kita tentukan. Dengan menggunakan deskripsi ini, posisi pengamat adalah fixed (tidak berpindah2).