Fisika Kuantum untuk Universitas

Buku pegangan:

1.      James E. House, “Fundamentals of Quantum Chemistry”, Elsevier, 2004.

2.      Ira N. Levine, “Quantum Chemistry”, McGraw-Hill, 2000

3.      Linus Pauling & E.B. Wilson, “Introduction to Quantum Mechanics: With Applications to Chemistry”, McGraw-Hill, 1935.

4.      Attila Szabo & N.S. Ostlund, “Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory”, McGraw-Hill, 1989.

Table of Contents

1. The Early Days: fisika kuantum fenomenologis, sejarah fisika kuantum, pengembangan teori untuk “menjelaskan” fenomena (bukan untuk meramalkan) 
2. The Quantum Mechanical Way of Doing Things: fisika kuantum teoretis, teori yang lebih mendasar untuk menjelaskan beragam fenomena
3. Particles in Boxes: bagaimana menerapkan prinsip mendasar pada kasus hipotetis yang sederhana
4. The Hydrogen Atom: bab 4-5 menerapkan prinsip yang sama pada sistem yang semakin kompleks; partikel pada bab 3 diganti elektron
5. More Complex Atoms
6. Vibrations and the Harmonic Oscillator: bab 6-7 penerapan teori kuantum pada kasus yang agak berbeda dari bab 3-4-5 (tetap partikel yang “terikat” tapi dengan pengertian yang berbeda)
7. Molecular Rotation and Spectroscopy
8. Barrier Penetration: melepaskan diri dari ikatan
9. Diatomic Molecules: penerapan hal-hal di atas pada kasus tertentu
10. Symmetry: pembahasan khusus 
11. Huckel Molecular Orbital Methods: bab 11-12 teori dengan “aproksimasi” untuk sistem yang lebih kompleks
12. More Complete Molecular Orbital Methods

Early Days, Old Quantum Physics,
History of Quantum Physics, Kuantum Fenomenologis

1. Gejala Kuantum

…

2. Kuantisasi Energi
(Energi Elektron Bersifat Diskrit)

2.1  Spektrum Atom Hidrogen: Deret Balmer, Lymann, …

Gambar Percobaan Balmer

Kesimpulan: atom H menyerap gelombang elektromagnetik dengan frekuensi tertentu. Nilai-nilai panjang gelombang yang diserap di daerah sinar tampak akhirnya disebut sebagai deret Balmer.

Pengulangan percobaan oleh Lymann, tapi dengan mengamati spektrum di daerah ultraungu. Ternyata beberapa frekuensi di daerah ultraungu juga diserap oleh atom H, hilang dari spektrum. Paschen mengulang percobaan pada daerah sinar inframerah.

1.2  Persamaan Rydberg

Rydberg, seorang matematikawan, mencoba menemukan suatu persamaan yang mengaitkan nilai-nilai panjang gelombang yang diserap atom H. Ternyata deret Balmer memenuhi hubungan:

1/λ 
dengan n = 3, 4, 5, …

Rumus yang mirip ditemukan untuk deret Lymannn:

dengan n = 2, 3, 4, 5, …

Secara umum, berbagai deret yang menggambarkan frekuensi yang diserap atom H memenuhi persamaan:

dengan n₂ > n₁ . Untuk deret Lymann, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund, nilai n₁ berturut-turut 1, 2, 3, 4, 5.

1.3  Penjelasan Niels Bohr Atas Spektrum H

Teori Atom Bohr

Niels Bohr berusaha menjawab pertanyaan mengapa nilai-nilai panjang gelombang yang diserap atom H mengikuti persamaan yang diusulkan oleh Rydberg. Niels Bohr akhirnya mengusulkan suatu teori atom berikut:

1.      Elektron bergerak mengelilingi inti, dengan energi-energi tertentu.

2.      Elektron dapat berpindah dari suatu tingkat energi ke tingkat yang lain, dengan menyerap atau memancarkan energi.

3.      Gerak elektron memenuhi hukum-hukum mekanika klasik (mekanika Newton).

4.      Momentum sudut elektron merupakan kelipatan bulat dari  dengan h adalah tetapan Planck (lihat “Sifat Partikel dari Gelombang Elektromagnetik”).

Butir ke-4 dikenal sebagai postulat Bohr.

Jari-Jari Atom H

Inti atom dan elektron saling tarik dengan gaya Coulomb. Karena elektron bergerak melingkar mengelilingi inti, maka menurut mekanika klasik, elektron harus memperoleh energi ke arah pusat (ke arah inti atom), yang disebut gaya sentripetal.

Gambar atom

Jadi, kita memiliki dua persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan jari-jari atom:

1.      F_sp = F_c      (gaya sentripetal yang dialami elektron adalah akibat gaya Coulomb)

2.         (postulat Bohr)

Dengan menggunakan kedua persamaan tersebut, kita peroleh:

Energi Elektron

Energi elektron merupakan jumlah energi potensial (Coulomb) dan energi kinetik. Dengan mensubstitusi r ke dalam energi elektron, kita peroleh:

Dengan memasukkan data-data m, e_o, h, e, kita peroleh:

Ion serupa H (hydrogen-like atoms)

Jika rumusan ini dikembangkan untuk atom-serupa-hidrogen (yaitu ion-ion yang hanya memiliki satu elektron), diperoleh:

Penjelasan Bohr terhadap Spektrum Atom H

Deret Lymann terjadi akibat elektron menyerap gelombang elektromagnetik untuk mengalami perpindahan ke tingkat energi yang lebih tinggi. Sinar ultraungu dengan panjang gelombang l₁ diserap untuk berpindahnya elektron dari kulit ke-1 ke kulit ke-2, panjang gelombang l₂ diserap untuk berpindahnya elektron dari kulit ke-1 ke kulit ke-3, dan seterusnya.

Pada penyerapan  l₁, energi yang dibutuhkan untuk eksitasi = energi gelombang sinar ultraungu yang diserap.

Tetapan Rydberg:

3. Sifat Partikel dari Gelombang Elektromagnet

3.1  Radiasi Benda Hitam (RBH)

Percobaan RBH

Percobaan radiasi benda hitam. Benda hitam bisa dimodelkan dengan sebuah lubang kecil pada dinding ruang tertutup.

Dari percobaan tersebut diperoleh bahwa benda hitam memancarkan gelombang elektromagnetik dengan berbagai panjang gelombang, sesuai kurva berikut.

Kurva f(l) terhadap l.

Penjelasan Rayleigh-Jeans

Rayleigh dan Jeans berusaha menurunkan fungsi f(l) tersebut berdasarkan teori gelombang elektromagnetik, tetapi dengan asumsi energi gelombang elektromagnetik bersifat kontinu. Diperoleh kurva yang dikenal sebagai “ultraviolet catastrophe”.

Teori Planck 

Planck menggunakan asumsi bahwa energi gelombang elektromagnetik bersifat diskrit, dimana energi terkecil yang dapat dimilikinya adalah , dengan h tetapan Planck, dan n adalah frekuensi gelombang elektromagnetik. Dengan asumsi ini, ia menurunkan f(l) hingga diperoleh kurva berikut:

…

Gambar

jika nilai h ditetapkan sebesar 6,6 ´ 10^–34 J.s.

Jadi, bisa disimpulkan bahwa gelombang elektromaggnetik bersifat diskrit.

3.2  Efek Fotolistrik

Gambar

Teori Einstein tentang efek fotolistrik:

1.      Gelombang elektromagnetik diserap dalam satuan-satuan energi foton.

2.      Satu elektron hanya dapat menyerap energi satu foton pada saat yang sama.

3.3  Efek Compton

Tugas: tulis persamaan yang menggambarkan keberlakuan hukum kekekalan momentum pada efek Compton.

Gambar

Hukum kekekalan energi: 

Energi foton sebelum tumbukan sama dengan energi foton setelah tumbukan + energi kinetik elektron.

Jika foton bersifat sebagai partikel, haruslah berlaku hukum kekekalan momentum.

Bagaimana mengetahui momentum foton? Einstein-Planck:

Akhirnya digunakan momentum foton:

Hukum kekekalan momentum:

Arah X: …

Arah Y: …

Akhirnya sering dikatakan bahwa gelombang elektromagnetik menunjukkan gejala “dualitas gelombang-partikel”.

4. Sifat Gelombang dari Partikel

4.1  Hipotesis de Broglie

Partikel mempunyai sifat gelombang, dengan panjang gelombang:

4.2  Percobaan Davisson-Germer

Jika partikel mempunyai sifat gelombang, partikel haruslah dapat menunjukkan gejala gelombang: pemantulan, pembiasan, difraksi, interferensi, dispersi, dll.

Mereka melewatkan berkas elektron dengan kecepatan tertentu pada kisi difraksi. Diamati garis-garis “terang” dan “gelap”.

5. Prinsip Ketakpastian Heisenberg

Kepastian pengukuran posisi dan momentum bersifat terbatas, dan terkait satu sama lain:

Postulat Bohr dapat diubah sehingga menunjukkan keterkaitan dengan hipotesis de Broglie:

           

Bab 2
Dasar-Dasar Mekanika Kuantum

Mekanika kuantum didasarkan pada beberapa postulat. Postulat digunakan sebagai landasan untuk melakukan deduksi. Kebenaran postulat dinilai berdasarkan kecocokan hasil deduksi dengan realitas.

2.1  Postulat Mekanika Kuantum

Postulat 1. Untuk setiap keadaan yang mungkin untuk suatu sistem, terdapat sebuah fungsi, Y, terhadap koordinat bagian-bagian sistem dan waktu, dan fungsi tersebut secara lengkap menggambarkan sistem tersebut. 

q_i = generalized coordinates.

Makna fisik dari fungsi di atas adalah bahwa kebolehjadian untuk menemukan partikel-partikel penyusun sistem dalam elemen volume dt sama dengan .

Kebolehjadian untuk menemukan partikel-partikel penyusun sistem dalam batas-batas ruang tertentu, adalah

=kebolehjadian untuk menemukan partikel.

Ungkapan elemen volume bergantung pada koordinat yang digunakan:

… = rapat kebolehjadian, kebolehjadian per satuan ukuran ruang (per volume, atau per luas, atau per satuan panjang)

Nilai kebolehjadian untuk seluruh ruang, tentunya harus bernilai 1. Jika belum bernilai 1, maka dikatakan fungsi gelombang tersebut belum ternormalkan (normalized).

Batas-batas “seluruh ruang”:

-¥ < x < ¥, -¥ < y < ¥ , -¥ < z < ¥
0 < r < ¥, 0 < q < p, 0 < f < 2p

Syarat suatu fungsi yang menggambarkan sistem: tertentu (finite), bernilai tunggal (single-valued), kontinu (continue).

Beberapa konsep tambahan:

·         Dua fungsi dikatakan ortogonal, jika

·         Dua fungsi dikatakan ortonormal, jika keduanya ortogonal, dan masing-masingnya telah ternormalkan.

2.2  Fungsi Gelombang

Persamaan gelombang klasik:

Untuk gerak harmonik:

Untuk fungsi gelombang partikel, panjang gelombang diganti dengan panjang gelombang de Broglie.

Dapat ditunjukkan bahwa persamaan gelombang untuk partikel akan memiliki bentuk yang sama, dengan dua cara penurunan yang berbeda berikut ini:

·         Masukkan frekuensi de Broglie ke dalam persamaan gelombang klasik.

·         Gunakan postulat dari Schrödinger (lewat operator) untuk menurunkan persamaan gelombang Schrödinger.

Dengan menggunakan frekuensi de Broglie:

2.3  Operator

Postulat II: Untuk setiap variabel dinamik (besaran klasik yang teramati) terdapat sebuah operator yang berkaitan.

Beberapa operator yang sering digunakan:

Besaran                       Lambang                     Operator

Koordinat                    x, y, z, r                        x, y, z, r 

Momentum                  p_x p_y p_z                         , ,

Energi kinetik              T =                      

Energi kinetik  (?)                                           

Energi potensial          V                                  V

Momentum sudut        L_z                                 ,

Sifat-sifat operator:

1.      Operator bersifat linier:

2.      Operator bersifat Hermitian:

2.4  Nilai Eigen

Postulat III: Nilai yang boleh dimiliki oleh suatu variabel dinamik bisa berupa nilai yang memenuhi , dimana f adalah fungsi eigen dari operator , yang berkaitan dengan nilai yang teramati dari besaran tersebut yaitu a.

Jika persamaan dalam postulat di atas tidak dapat diperoleh, maka nilai besaran tersebut tidaklah pasti, maka nilai yang teramati dari besaran tersebut merupakan nilai rata-rata, yang dapat ditentukan melalui persamaan:

0 < q < p         0 < f < 2 p         r > 0

Suatu fungsi gelombang dikatakan telah dinormalkan jika:  untuk seluruh ruang.

2.5  Fungsi Gelombang

Postulat IV: Fungsi keadaan, Y, merupakan solusi dari persamaan

, dimana  adalah operator energi total, yang disebut operator Hamiltonian.  

Yang dimaksud energi total adalah jumlah energi kinetik dan energi potensial.

Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan gelombang Schrödinger.

Untuk persamaan gelombang Schrödinger bergantung waktu, digunakan persamaan:

Untuk persamaan tak bergantung waktu:

PR: Kecuali nomor 5 dari Bab 2

·        

EK, EP  ® Hamiltonian

Pers. Schrodinger

Solusi (En, yn), dg memperhatikan:
- syarat batas (syarat fisik, pembatas MA)

- normalisasi

Nilai rata-rata <variabel fisik> =

 

Bab 3  Partikel Dalam Kotak

3.1  Partikel Dalam Kotak Satu Dimensi

Memodelkan sistem dengan fungsi energi potensial:

Hamiltonian klasik:

Hamiltonian kuantum:

Persamaan diferensial Schrödinger bebas waktu:

Solusi persamaan tersebut:

Syarat batas:

®

Normalisasi:

Kebolehjadian untuk menemukan partikel di dalam kotak haruslah sama dengan 1. Berdasarkan prinsip kimia kuantum, kebolehjadian untuk menemukan partikel adalah

Karena solusi persamaan Schrödinger berupa fungsi nyata, kita dapat tuliskan:

  ® A

Nilai rata-rata besaran Y adalah

       (jika fungsi gelombang tidak mengandung bilangan kompleks)

Contoh soal:

6 buah partikel mengisi kotak satu dimensi yang berukuran a m. Tentukan rumusan untuk menghitung panjang gelombang elektromagnetik terbesar yang dapat diserap oleh sistem tersebut pada keadaan dasarnya. Anggap partikel tersebut berupa partikel Fermi-Dirac yang setiap tingkat energinya hanya dapat diisi oleh dua partikel.

Sistem nyata yang dapat mewakili sistem hipotetik yang disebut dalam soal di atas:

CH₂=CH-CH=CH-CH=CH₂     C-C   1.4 A   m = 9,1 ´ 10^–31 kg

3.2  Pemisahan Variabel

U merupakan fungsi dari x dan y.

Pemisahan variabel:

Kita dapat menyelesaikan fungsi X dan fungsi Y secara terpisah.

3.3  Partikel Dalam Kotak 2-Dimensi

1.     

2.       (substitusikan operator momentum)

3.     

4.      Misalkan , , substitusi lalu kumpulkan variabel x di ruas kiri dan variabel y di ruas kanan.

3.4  Partikel Dalam Kotak 3-Dimensi

Hamiltonian klasik (dalam kotak):

Hamiltonian kuantum:

Persamaan Schrödinger bebas waktu:

Kita andaikan fungsi gelombang dapat dipisahkan berdasarkan koordinatnya, dalam bentuk perkalian:

Masukkan ke dalam persamaan Schrodinger di atas:

Bab 4 Atom Hidrogen

4.1  Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen

Pendekatan sederhana: menganggap inti diam, dan hanya elektron yang bergerak. Pendekatan lain: menganggap inti dan elektron sebagai satu sistem yang bergerak, dengan massanya diganti dengan massa tereduksi, m.

Karena massa elektron jauh lebih kecil dari massa inti, , dan . Pendekatan yang menganggap inti diam dan hanya elektron yang bergerak dikenal sebagai Hampiran Born-Oppenheimer. Kita gunakan pendekatan pertama (BO) tapi dengan massa tereduksi.

Langkah-langkah baku Schrödinger:

·         Hamiltonian klasik:

·         Hamiltonian kuantum:
[1]

·         Persamaan diferensial Schrödinger bebas waktu:

·         Solusi persamaan tersebut:
Anggap fungsi gelombang y dapat dipisahkan menjadi perkalian tiga fungsi satu variabel:
Kita bagi keempat suku dengan  dan dikali dengan :

Perhatikan bahwa hanya suku ketiga yang mengandung f sehingga kita bisa turunkan terhadap f yang menyisakan suku ketiga saja. Integralkan kembali untuk menghasilkan:
(bentuknya seperti persamaan diferensial kotak satu dimensi)
Persamaan diferensial Schrödinger menjadi:

Dengan prinsip pemisahan variabel, kita peroleh:


Persamaan pertama dikalikan R dan persamaan kedua dikalikan q,


Solusi fungsi F adalah yang paling sederhana, yang setelah dinormalkan menjadi,
  (diperoleh dari prinsip normalisasi: )
Solusi keseluruhan,

Persamaan diferensial yang mengandung q adalah

yang dapat diubah bentuknya menjadi,

Kita buat transformasi variabel,
   maka 


Persamaan terakhir serupa dengan persamaan Legendre:

Solusi dari persamaan diferensial ini dikenal sebagai polinom (suku-banyak) Legendre. Jika diterapkan pada persamaan diferensial Schrodinger bervariabel q di atas, kita peroleh beberapa polinom Legendre berikut:
l = 0, m = 0:
l = 1, m = 0:
dst.
Solusi fungsi radial diperoleh berdasarkan kenyataan bahwa persamaan diferensial Schrödinger untuk R ternyata merupakan persamaan Laguerre.

·         Fungsi gelombang merupakan perkalian dari ketiga fungsi di atas. Tahap berikutnya adalah tahap normalisasi, untuk menentukan tetapan yang ada di depan fungsi gelombang tersebut.

Daftar solusi persamaan diferensial Schrodinger untuk berbagai nilai n, l, m.

4.2  Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger

Kuadrat fungsi gelombang itu di suatu titik tertentu dalam ruang di sekitar inti atom, menggambarkan kebolehjadian untuk menemukan elektron di titik tsb. per satuan volume ruang. Kuadrat fungsi gelombang ini sering disebut sebagai rapat kebolehjadian.

Secara visual, keragaman nilai fungsi gelombang dinyatakan dengan titik-titik dengan kerapatan yang berbeda. Nilai positif-negatif ditunjukkan dengan warna berbeda.

Daerah terbesar kemungkinannya untuk menemukan elektron disebut “orbital”. Jika orbital divisualisasikan dengan garis tegas, bisa ditafsirkan bahwa kebolehjadian untuk menemukan elektron di dalam garis tegas tsb. adalah 95%, dan masih ada kemungkinan elektron berada di luarnya dengan kebolehjadian sebesar 5%.

Penafsiran terhadap fungsi gelombang radial R(r):

·         Kebolehjadian terhadap arah r tidak dapat diisolasi dari fungsi gelombang yang lain, karena satuan dari r, teta, phi, berbeda. Pada kasus kotak tiga dimensi, kebolehjadian di setiap arah, dapat diisolasi.

·         Jika fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut, maka rapat kebolehjadian terhadap jarak dari inti (artinya fungsi rapat kebolehjadian terhadap salah satu saja dari koordinat, yaitu r) bernilai .
  dengan P(r) = rapat kebolehjadian (per satuan panjang).

·          
(jika tak bergantung sudut)

·         Untuk orbital 1s: , kita dapat menentukan jarak dari inti dengan rapat kebolehjadian tertinggi (terhadap r). Artinya, kita menentukan jarak r dengan nilai P(r) tertinggi. Untuk atom hidrogen, Z = 1.
Kurva: ….
Untuk orbital 2s:
Untuk orbital 3s:

Visualisasi titik dan visualisasi kontur: …

3:1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14

4.3  Keortogonalan

Gagasan tentang ikatan antar atom berkaitan dengan kombinasi antar orbital-orbital atom (fungsi gelombang). Dalam bahasa “Fisika” dikatakan bahwa gelombang-gelombang yang mewakili orbital atom saling berinterferensi.

Salah satu aspek kombinasi orbital adalah yang disebut sebagai keortogonalan. Dua fungsi gelombang disebut ortogonal satu sama lain, jika memenuhi:

Integral ini disebut sebagai overlap integral (integral tumpang-tindih), yang menggambarkan tingkat tumpang-tindah orbital dalam molekul. Tumpang-tindah tidak sejajar dengan istilah interferensi dalam fisika, karena tumpang-tindih mempunyai konotasi interferensi yang saling menguatkan.

Bisa dibuktikan, fungsi gelombang 2p_x dan 2p_y saling ortogonal.

Beberapa interferensi antar orbital atom:

Gambar-gambar …

4.4  Fungsi Gelombang Hampiran dan Metode Variasi

Pada kebanyakan masalah kimia, tidak dapat diperoleh solusi eksak dari persamaan gelombang Schrödinger. Hanya pada kasus yang amat sedikit, persamaan Schrödinger memiliki solusi eksak (misalnya pada kasus atom H). Karena itulah diperlukan hampiran terhadap solusi tersebut (fungsi gelombang hampiran).

Prinsip untuk menentukan fungsi gelombang hampiran adalah:

·         Buat fungsi gelombang kira-kira, dengan beberapa parameter yang belum diketahui.

·         Gunakan fungsi gelombang kira-kira (fungsi gelombang coba-coba, trial wave function), untuk menghitung energi:

Energi tidak dapat ditentukan lewat persamaan Schrödinger:

·         Parameter yang tak diketahui, dicari dengan cara meminimalkan energi.

Salah satu pendekatan terhadap fungsi gelombang coba-coba adalah dengan menggunakan bentuk yang mirip dengan fungsi gelombang untuk atom H.

Langkah-langkah ini dikenal sebagai metode variasi.

Metode variasi ini didasarkan atas prinsip variasi, atau teorema variasi:

Energi yang benar hanya dapat diperoleh lewat fungsi gelombang yang benar. Penggunaan fungsi gelombang yang lain akan menghasilkan energi sistem yang lebih besar dari energi yang sebenarnya.

Untuk setiap fungsi gelombang yang “salah” , akan diperoleh , dengan  adalah energi yang sebenarnya (true energy).

Kita coba terapkan metode variasi dengan menggunakan fungsi gelombang coba-coba yang mirip dengan fungsi gelombang orbital 1s untuk atom H:

Andaikan kita terapkan fungsi coba-coba ini untuk menerapkan metode variasi pada atom H. Operator Hamiltonian untuk sistem ini:

Karena fungsi gelombang coba-coba tidak mengandung sudut, maka kita bisa hilangkan suku-suku yang mengandung sudut dari Laplacian:

Kita tidak menggunakan persamaan Schrödinger , melainkan memasukkannya ke dalam perhitungan energi rata-rata, atau energi yang teramati:

Kita tentukan dulu Lapacian dari fungsi gelombang coba-coba:

Substitusikan ke dalam persamaan energi rata-rata:

Kita gunakan aturan integrasi berikut:

sehingga diperoleh

Kita minimalkan energi di atas, dengan membuat turunannya terhadap b bernilai nol.

Masukkan kembali nilai b ke ungkapan energi,

Ternyata energinya sama dengan energi elektron atom H menurut teori Bohr.

Soal Bab 4: 1-6, 8, 10, 11

Bab 5  Atom Yang Lebih Rumit

Kita akan lihat pendekatan yang dapat diterapkan pada atom He.

5.1  Atom He

Kita akan lihat amat mudah membuat persamaan Schrodinger untuk atom He, tetapi amat sulit menyelesaikannya.

Hamiltonian:

Persamaan gelombang Schrodinger:

Dalam atom hidrogen hanya terdapat satu besaran jarak sehingga mudah mengubahnya menjadi koordinat polar. Kehadiran r₁₂ menyebabkan sulitnya mengubah koordinat menjadi koordinat polar.

Salah satu pendekatan adalah membuat gelombang coba-coba dan menerapkan metode variasi untuk menyelesaikannya. Andaikan fungsi gelombang coba-coba yang dipilih adalah

Nilai Z’ pastilah lebih kecil dari 2, karena tarikan inti dilemahkan oleh adanya tolakan antar elektron. Untuk He⁺ nilainya tepat 2, karena spesi ini berupa spesi serupa atom H (hydrogen-like atom) yang tak memiliki tolakan antar elektron.

---

[1] Koordinat Kartesius:

Koordinat Polar: