Buku pegangan:
1.
James E. House, “Fundamentals
of Quantum Chemistry”, Elsevier, 2004.
2.
Ira N. Levine, “Quantum
Chemistry”, McGraw-Hill, 2000
3.
Linus Pauling & E.B.
Wilson, “Introduction to Quantum Mechanics: With Applications to Chemistry”,
McGraw-Hill, 1935.
4.
Attila Szabo & N.S.
Ostlund, “Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic
Structure Theory”, McGraw-Hill, 1989.
Table of Contents
- The Early Days: fisika kuantum fenomenologis, sejarah fisika kuantum, pengembangan teori untuk “menjelaskan” fenomena (bukan untuk meramalkan)
- The Quantum Mechanical Way of Doing Things: fisika kuantum teoretis, teori yang lebih mendasar untuk menjelaskan beragam fenomena
- Particles in Boxes: bagaimana menerapkan prinsip mendasar pada kasus hipotetis yang sederhana
- The Hydrogen Atom: bab 4-5 menerapkan prinsip yang sama pada sistem yang semakin kompleks; partikel pada bab 3 diganti elektron
- More Complex Atoms
- Vibrations and the Harmonic Oscillator: bab 6-7 penerapan teori kuantum pada kasus yang agak berbeda dari bab 3-4-5 (tetap partikel yang “terikat” tapi dengan pengertian yang berbeda)
- Molecular Rotation and Spectroscopy
- Barrier Penetration: melepaskan diri dari ikatan
- Diatomic Molecules: penerapan hal-hal di atas pada kasus tertentu
- Symmetry: pembahasan khusus
- Huckel Molecular Orbital Methods: bab 11-12 teori dengan “aproksimasi” untuk sistem yang lebih kompleks
- More Complete Molecular Orbital Methods
Early Days, Old Quantum Physics,
History of Quantum Physics, Kuantum Fenomenologis
1. Gejala Kuantum
…
2. Kuantisasi Energi
(Energi Elektron Bersifat Diskrit)
2.1 Spektrum Atom Hidrogen: Deret Balmer, Lymann, …
Gambar Percobaan Balmer
Kesimpulan: atom H menyerap gelombang
elektromagnetik dengan frekuensi tertentu. Nilai-nilai panjang gelombang yang diserap
di daerah sinar tampak akhirnya disebut sebagai deret Balmer.
Pengulangan percobaan oleh Lymann, tapi
dengan mengamati spektrum di daerah ultraungu. Ternyata beberapa frekuensi di
daerah ultraungu juga diserap oleh atom H, hilang dari spektrum. Paschen
mengulang percobaan pada daerah sinar inframerah.
1.2 Persamaan Rydberg
Rydberg, seorang matematikawan, mencoba
menemukan suatu persamaan yang mengaitkan nilai-nilai panjang gelombang yang
diserap atom H. Ternyata deret Balmer memenuhi hubungan:
1/λ
dengan n = 3, 4, 5, …
dengan n = 3, 4, 5, …
dengan n = 2, 3, 4, 5, …
Secara umum, berbagai deret yang
menggambarkan frekuensi yang diserap atom H memenuhi persamaan:
dengan n2 > n1 . Untuk deret Lymann, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund, nilai n1 berturut-turut 1, 2, 3, 4, 5.
1.3 Penjelasan Niels Bohr Atas Spektrum H
Teori Atom Bohr
Niels Bohr berusaha menjawab pertanyaan
mengapa nilai-nilai panjang gelombang yang diserap atom H mengikuti persamaan
yang diusulkan oleh Rydberg. Niels Bohr akhirnya mengusulkan suatu teori atom
berikut:
1.
Elektron bergerak mengelilingi
inti, dengan energi-energi tertentu.
2.
Elektron dapat berpindah dari
suatu tingkat energi ke tingkat yang lain, dengan menyerap atau memancarkan
energi.
3.
Gerak elektron memenuhi
hukum-hukum mekanika klasik (mekanika Newton).
4.
Momentum sudut elektron
merupakan kelipatan bulat dari dengan h adalah
tetapan Planck (lihat “Sifat Partikel dari Gelombang Elektromagnetik”).
Butir ke-4 dikenal sebagai postulat Bohr.
Jari-Jari Atom H
Inti atom dan elektron saling tarik
dengan gaya Coulomb. Karena elektron bergerak melingkar mengelilingi inti, maka
menurut mekanika klasik, elektron harus memperoleh energi ke arah pusat (ke
arah inti atom), yang disebut gaya sentripetal.
Gambar atom
Jadi, kita memiliki dua persamaan yang
dapat digunakan untuk menentukan jari-jari atom:
1.
Fsp = Fc (gaya sentripetal yang dialami elektron adalah
akibat gaya Coulomb)
2.
(postulat Bohr)
Dengan menggunakan kedua persamaan
tersebut, kita peroleh:
Energi Elektron
Energi elektron merupakan jumlah energi
potensial (Coulomb) dan energi kinetik. Dengan mensubstitusi r ke dalam
energi elektron, kita peroleh:
Dengan memasukkan data-data m, eo, h, e, kita peroleh:
Ion serupa H (hydrogen-like atoms)
Jika rumusan ini dikembangkan untuk atom-serupa-hidrogen
(yaitu ion-ion yang hanya memiliki satu elektron), diperoleh:
Penjelasan Bohr terhadap Spektrum Atom H
Deret Lymann terjadi akibat elektron
menyerap gelombang elektromagnetik untuk mengalami perpindahan ke tingkat
energi yang lebih tinggi. Sinar ultraungu dengan panjang gelombang l1 diserap untuk berpindahnya elektron
dari kulit ke-1 ke kulit ke-2, panjang gelombang l2 diserap untuk berpindahnya elektron
dari kulit ke-1 ke kulit ke-3, dan seterusnya.
Pada penyerapan l1, energi yang dibutuhkan untuk eksitasi = energi gelombang sinar
ultraungu yang diserap.
Tetapan Rydberg:
3. Sifat Partikel dari Gelombang Elektromagnet
3.1 Radiasi Benda Hitam (RBH)
Percobaan RBH
Percobaan radiasi benda hitam. Benda
hitam bisa dimodelkan dengan sebuah lubang kecil pada dinding ruang tertutup.
Dari percobaan tersebut diperoleh bahwa
benda hitam memancarkan gelombang elektromagnetik dengan berbagai panjang
gelombang, sesuai kurva berikut.
Kurva f(l) terhadap l.
Penjelasan Rayleigh-Jeans
Rayleigh dan Jeans berusaha menurunkan
fungsi f(l)
tersebut berdasarkan teori gelombang elektromagnetik, tetapi dengan asumsi
energi gelombang elektromagnetik bersifat kontinu. Diperoleh kurva yang dikenal
sebagai “ultraviolet catastrophe”.
Teori Planck
Planck menggunakan asumsi bahwa energi
gelombang elektromagnetik bersifat diskrit, dimana energi terkecil yang dapat
dimilikinya adalah , dengan h tetapan Planck, dan n adalah frekuensi gelombang elektromagnetik. Dengan asumsi ini, ia
menurunkan f(l)
hingga diperoleh kurva berikut:
…
Gambar
jika nilai h ditetapkan sebesar
6,6 ´ 10–34 J.s.
Jadi, bisa disimpulkan bahwa gelombang
elektromaggnetik bersifat diskrit.
3.2 Efek Fotolistrik
Gambar
Teori Einstein tentang efek fotolistrik:
1.
Gelombang elektromagnetik
diserap dalam satuan-satuan energi foton.
2.
Satu elektron hanya dapat
menyerap energi satu foton pada saat yang sama.
3.3 Efek Compton
Tugas: tulis persamaan yang menggambarkan
keberlakuan hukum kekekalan momentum pada efek Compton.
Gambar
Hukum kekekalan energi:
Energi foton sebelum tumbukan sama dengan
energi foton setelah tumbukan + energi kinetik elektron.
Jika foton bersifat sebagai partikel,
haruslah berlaku hukum kekekalan momentum.
Bagaimana mengetahui momentum foton?
Einstein-Planck:
Akhirnya digunakan momentum foton:
Hukum kekekalan momentum:
Arah X: …
Arah Y: …
Akhirnya sering dikatakan bahwa gelombang
elektromagnetik menunjukkan gejala “dualitas gelombang-partikel”.
4. Sifat Gelombang dari Partikel
4.1 Hipotesis de Broglie
Partikel mempunyai sifat gelombang,
dengan panjang gelombang:
4.2 Percobaan Davisson-Germer
Jika partikel mempunyai sifat gelombang,
partikel haruslah dapat menunjukkan gejala gelombang: pemantulan, pembiasan,
difraksi, interferensi, dispersi, dll.
Mereka melewatkan berkas elektron dengan
kecepatan tertentu pada kisi difraksi. Diamati garis-garis “terang” dan
“gelap”.
5. Prinsip Ketakpastian Heisenberg
Kepastian pengukuran posisi dan momentum
bersifat terbatas, dan terkait satu sama lain:
Postulat Bohr dapat diubah sehingga
menunjukkan keterkaitan dengan hipotesis de Broglie:
Bab 2
Dasar-Dasar Mekanika Kuantum
Dasar-Dasar Mekanika Kuantum
Mekanika kuantum didasarkan pada beberapa
postulat. Postulat digunakan sebagai landasan untuk melakukan deduksi.
Kebenaran postulat dinilai berdasarkan kecocokan hasil deduksi dengan realitas.
2.1 Postulat Mekanika Kuantum
Postulat 1. Untuk setiap keadaan yang
mungkin untuk suatu sistem, terdapat sebuah fungsi, Y, terhadap koordinat bagian-bagian sistem dan waktu, dan fungsi tersebut
secara lengkap menggambarkan sistem tersebut.
qi = generalized coordinates.
Makna fisik dari fungsi di atas adalah
bahwa kebolehjadian untuk menemukan partikel-partikel penyusun sistem dalam
elemen volume dt sama
dengan .
Kebolehjadian untuk menemukan
partikel-partikel penyusun sistem dalam batas-batas ruang tertentu, adalah
=kebolehjadian untuk menemukan partikel.
Ungkapan elemen volume bergantung pada
koordinat yang digunakan:
… = rapat kebolehjadian, kebolehjadian
per satuan ukuran ruang (per volume, atau per luas, atau per satuan panjang)
Nilai kebolehjadian untuk seluruh ruang,
tentunya harus bernilai 1. Jika belum bernilai 1, maka dikatakan fungsi
gelombang tersebut belum ternormalkan (normalized).
Batas-batas “seluruh ruang”:
-¥ < x < ¥, -¥ < y < ¥ , -¥ < z < ¥
0 < r < ¥, 0 < q < p, 0 < f < 2p
0 < r < ¥, 0 < q < p, 0 < f < 2p
Syarat suatu fungsi yang menggambarkan
sistem: tertentu (finite), bernilai tunggal (single-valued),
kontinu (continue).
Beberapa konsep tambahan:
·
Dua fungsi dikatakan ortogonal,
jika
·
Dua fungsi dikatakan
ortonormal, jika keduanya ortogonal, dan masing-masingnya telah ternormalkan.
2.2 Fungsi Gelombang
Persamaan gelombang klasik:
Untuk gerak harmonik:
Untuk fungsi gelombang partikel, panjang
gelombang diganti dengan panjang gelombang de Broglie.
Dapat ditunjukkan bahwa persamaan
gelombang untuk partikel akan memiliki bentuk yang sama, dengan dua cara
penurunan yang berbeda berikut ini:
·
Masukkan frekuensi de Broglie
ke dalam persamaan gelombang klasik.
·
Gunakan postulat dari Schrödinger
(lewat operator) untuk menurunkan persamaan gelombang Schrödinger.
Dengan menggunakan frekuensi de Broglie:
2.3 Operator
Postulat II: Untuk setiap variabel
dinamik (besaran klasik yang teramati) terdapat sebuah operator yang berkaitan.
Beberapa operator yang sering digunakan:
Besaran Lambang Operator
Koordinat x,
y, z, r x, y, z,
r
Momentum px
py pz , ,
Energi kinetik T =
Energi kinetik (?)
Energi potensial V V
Momentum sudut Lz ,
Sifat-sifat operator:
1.
Operator bersifat linier:
2.
Operator bersifat Hermitian:
2.4 Nilai Eigen
Postulat III: Nilai yang boleh dimiliki
oleh suatu variabel dinamik bisa berupa nilai yang memenuhi , dimana f
adalah fungsi eigen dari operator , yang berkaitan dengan nilai yang teramati dari besaran
tersebut yaitu a.
Jika persamaan dalam postulat di atas
tidak dapat diperoleh, maka nilai besaran tersebut tidaklah pasti, maka nilai
yang teramati dari besaran tersebut merupakan nilai rata-rata, yang dapat
ditentukan melalui persamaan:
0 < q < p 0
< f < 2 p r > 0
Suatu fungsi gelombang dikatakan telah
dinormalkan jika: untuk seluruh ruang.
2.5 Fungsi Gelombang
Postulat IV: Fungsi keadaan, Y, merupakan solusi dari persamaan
, dimana adalah operator energi
total, yang disebut operator Hamiltonian.
Yang dimaksud energi total adalah jumlah
energi kinetik dan energi potensial.
Persamaan di atas dikenal sebagai
persamaan gelombang Schrödinger.
Untuk persamaan gelombang Schrödinger
bergantung waktu, digunakan persamaan:
Untuk persamaan tak bergantung waktu:
PR: Kecuali nomor 5 dari Bab 2
·
EK, EP
® Hamiltonian
Pers. Schrodinger
Solusi (En, yn), dg memperhatikan:
- syarat batas (syarat fisik, pembatas MA)
- syarat batas (syarat fisik, pembatas MA)
- normalisasi
Nilai rata-rata <variabel fisik> =
Bab 3 Partikel Dalam Kotak
3.1 Partikel Dalam Kotak Satu Dimensi
Memodelkan sistem dengan fungsi energi
potensial:
Hamiltonian klasik:
Hamiltonian kuantum:
Persamaan diferensial Schrödinger bebas
waktu:
Solusi persamaan tersebut:
Syarat batas:
®
Normalisasi:
Kebolehjadian untuk menemukan partikel di
dalam kotak haruslah sama dengan 1. Berdasarkan prinsip kimia kuantum,
kebolehjadian untuk menemukan partikel adalah
Karena solusi persamaan Schrödinger
berupa fungsi nyata, kita dapat tuliskan:
® A
Nilai rata-rata besaran Y adalah
(jika fungsi
gelombang tidak mengandung bilangan kompleks)
Contoh soal:
6 buah partikel mengisi kotak satu
dimensi yang berukuran a m. Tentukan rumusan untuk menghitung panjang
gelombang elektromagnetik terbesar yang dapat diserap oleh sistem tersebut pada
keadaan dasarnya. Anggap partikel tersebut berupa partikel Fermi-Dirac yang
setiap tingkat energinya hanya dapat diisi oleh dua partikel.
Sistem nyata yang dapat mewakili sistem
hipotetik yang disebut dalam soal di atas:
CH2=CH-CH=CH-CH=CH2 C-C
1.4 A m = 9,1 ´ 10–31 kg
3.2 Pemisahan Variabel
U
merupakan fungsi dari x dan y.
Pemisahan variabel:
Kita dapat menyelesaikan fungsi X dan
fungsi Y secara terpisah.
3.3 Partikel Dalam Kotak 2-Dimensi
1.
2.
(substitusikan
operator momentum)
3.
4.
Misalkan , , substitusi lalu kumpulkan variabel x di ruas kiri dan
variabel y di ruas kanan.
3.4 Partikel Dalam Kotak 3-Dimensi
Hamiltonian klasik (dalam kotak):
Hamiltonian kuantum:
Persamaan Schrödinger bebas waktu:
Kita andaikan fungsi gelombang dapat
dipisahkan berdasarkan koordinatnya, dalam bentuk perkalian:
Masukkan ke dalam persamaan Schrodinger
di atas:
Bab 4 Atom Hidrogen
4.1 Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen
Pendekatan sederhana: menganggap inti
diam, dan hanya elektron yang bergerak. Pendekatan lain: menganggap inti dan
elektron sebagai satu sistem yang bergerak, dengan massanya diganti dengan
massa tereduksi, m.
Karena massa elektron jauh lebih kecil
dari massa inti, , dan . Pendekatan yang menganggap inti diam dan hanya elektron
yang bergerak dikenal sebagai Hampiran Born-Oppenheimer. Kita gunakan
pendekatan pertama (BO) tapi dengan massa tereduksi.
Langkah-langkah baku Schrödinger:
·
Hamiltonian klasik:
·
Hamiltonian kuantum:
[1]
[1]
·
Persamaan diferensial
Schrödinger bebas waktu:
·
Solusi persamaan tersebut:
Anggap fungsi gelombang y dapat dipisahkan menjadi perkalian tiga fungsi satu variabel:
Kita bagi keempat suku dengan dan dikali dengan :
Perhatikan bahwa hanya suku ketiga yang mengandung f sehingga kita bisa turunkan terhadap f yang menyisakan suku ketiga saja. Integralkan kembali untuk menghasilkan:
(bentuknya seperti persamaan diferensial kotak satu dimensi)
Persamaan diferensial Schrödinger menjadi:
Dengan prinsip pemisahan variabel, kita peroleh:
Persamaan pertama dikalikan R dan persamaan kedua dikalikan q,
Solusi fungsi F adalah yang paling sederhana, yang setelah dinormalkan menjadi,
(diperoleh dari prinsip normalisasi: )
Solusi keseluruhan,
Persamaan diferensial yang mengandung q adalah
yang dapat diubah bentuknya menjadi,
Kita buat transformasi variabel,
maka
Persamaan terakhir serupa dengan persamaan Legendre:
Solusi dari persamaan diferensial ini dikenal sebagai polinom (suku-banyak) Legendre. Jika diterapkan pada persamaan diferensial Schrodinger bervariabel q di atas, kita peroleh beberapa polinom Legendre berikut:
l = 0, m = 0:
l = 1, m = 0:
dst.
Solusi fungsi radial diperoleh berdasarkan kenyataan bahwa persamaan diferensial Schrödinger untuk R ternyata merupakan persamaan Laguerre.
Anggap fungsi gelombang y dapat dipisahkan menjadi perkalian tiga fungsi satu variabel:
Kita bagi keempat suku dengan dan dikali dengan :
Perhatikan bahwa hanya suku ketiga yang mengandung f sehingga kita bisa turunkan terhadap f yang menyisakan suku ketiga saja. Integralkan kembali untuk menghasilkan:
(bentuknya seperti persamaan diferensial kotak satu dimensi)
Persamaan diferensial Schrödinger menjadi:
Dengan prinsip pemisahan variabel, kita peroleh:
Persamaan pertama dikalikan R dan persamaan kedua dikalikan q,
Solusi fungsi F adalah yang paling sederhana, yang setelah dinormalkan menjadi,
(diperoleh dari prinsip normalisasi: )
Solusi keseluruhan,
Persamaan diferensial yang mengandung q adalah
yang dapat diubah bentuknya menjadi,
Kita buat transformasi variabel,
maka
Persamaan terakhir serupa dengan persamaan Legendre:
Solusi dari persamaan diferensial ini dikenal sebagai polinom (suku-banyak) Legendre. Jika diterapkan pada persamaan diferensial Schrodinger bervariabel q di atas, kita peroleh beberapa polinom Legendre berikut:
l = 0, m = 0:
l = 1, m = 0:
dst.
Solusi fungsi radial diperoleh berdasarkan kenyataan bahwa persamaan diferensial Schrödinger untuk R ternyata merupakan persamaan Laguerre.
·
Fungsi gelombang merupakan
perkalian dari ketiga fungsi di atas. Tahap berikutnya adalah tahap
normalisasi, untuk menentukan tetapan yang ada di depan fungsi gelombang
tersebut.
Daftar solusi persamaan diferensial
Schrodinger untuk berbagai nilai n, l, m.
4.2 Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger
Kuadrat fungsi gelombang itu di suatu titik
tertentu dalam ruang di sekitar inti atom, menggambarkan kebolehjadian untuk
menemukan elektron di titik tsb. per satuan volume ruang. Kuadrat fungsi
gelombang ini sering disebut sebagai rapat kebolehjadian.
Secara visual, keragaman nilai fungsi
gelombang dinyatakan dengan titik-titik dengan kerapatan yang berbeda. Nilai
positif-negatif ditunjukkan dengan warna berbeda.
Daerah terbesar kemungkinannya untuk
menemukan elektron disebut “orbital”. Jika orbital divisualisasikan dengan
garis tegas, bisa ditafsirkan bahwa kebolehjadian untuk menemukan elektron di
dalam garis tegas tsb. adalah 95%, dan masih ada kemungkinan elektron berada di
luarnya dengan kebolehjadian sebesar 5%.
Penafsiran terhadap fungsi gelombang radial
R(r):
·
Kebolehjadian terhadap arah r
tidak dapat diisolasi dari fungsi gelombang yang lain, karena satuan dari r,
teta, phi, berbeda. Pada kasus kotak tiga dimensi, kebolehjadian di setiap
arah, dapat diisolasi.
·
Jika fungsi gelombang tidak
bergantung pada sudut, maka rapat kebolehjadian terhadap jarak dari inti
(artinya fungsi rapat kebolehjadian terhadap salah satu saja dari koordinat,
yaitu r) bernilai .
dengan P(r) = rapat kebolehjadian (per satuan panjang).
dengan P(r) = rapat kebolehjadian (per satuan panjang).
·
(jika tak bergantung sudut)
(jika tak bergantung sudut)
·
Untuk orbital 1s: , kita dapat menentukan jarak dari inti dengan rapat kebolehjadian
tertinggi (terhadap r). Artinya, kita menentukan jarak r dengan
nilai P(r) tertinggi. Untuk atom hidrogen, Z = 1.
Kurva: ….
Untuk orbital 2s:
Untuk orbital 3s:
Kurva: ….
Untuk orbital 2s:
Untuk orbital 3s:
Visualisasi titik dan visualisasi kontur:
…
3:1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14
4.3 Keortogonalan
Gagasan tentang ikatan antar atom
berkaitan dengan kombinasi antar orbital-orbital atom (fungsi gelombang). Dalam
bahasa “Fisika” dikatakan bahwa gelombang-gelombang yang mewakili orbital atom
saling berinterferensi.
Salah satu aspek kombinasi orbital adalah
yang disebut sebagai keortogonalan. Dua fungsi gelombang disebut ortogonal satu
sama lain, jika memenuhi:
Integral ini disebut sebagai overlap
integral (integral tumpang-tindih), yang menggambarkan tingkat tumpang-tindah
orbital dalam molekul. Tumpang-tindah tidak sejajar dengan istilah interferensi
dalam fisika, karena tumpang-tindih mempunyai konotasi interferensi yang saling
menguatkan.
Bisa dibuktikan, fungsi gelombang 2px
dan 2py saling ortogonal.
Beberapa interferensi antar orbital atom:
Gambar-gambar …
4.4 Fungsi Gelombang Hampiran dan Metode Variasi
Pada kebanyakan masalah kimia, tidak
dapat diperoleh solusi eksak dari persamaan gelombang Schrödinger. Hanya pada
kasus yang amat sedikit, persamaan Schrödinger memiliki solusi eksak (misalnya
pada kasus atom H). Karena itulah diperlukan hampiran terhadap solusi tersebut
(fungsi gelombang hampiran).
Prinsip untuk menentukan fungsi gelombang
hampiran adalah:
·
Buat fungsi gelombang
kira-kira, dengan beberapa parameter yang belum diketahui.
·
Gunakan fungsi gelombang
kira-kira (fungsi gelombang coba-coba, trial wave function), untuk
menghitung energi:
Energi tidak dapat ditentukan lewat persamaan Schrödinger:
Energi tidak dapat ditentukan lewat persamaan Schrödinger:
·
Parameter yang tak diketahui,
dicari dengan cara meminimalkan energi.
Salah satu pendekatan terhadap fungsi
gelombang coba-coba adalah dengan menggunakan bentuk yang mirip dengan fungsi
gelombang untuk atom H.
Langkah-langkah ini dikenal sebagai metode
variasi.
Metode variasi ini didasarkan atas
prinsip variasi, atau teorema variasi:
Energi yang benar hanya dapat diperoleh
lewat fungsi gelombang yang benar. Penggunaan fungsi gelombang yang lain akan
menghasilkan energi sistem yang lebih besar dari energi yang
sebenarnya.
Untuk setiap fungsi gelombang yang
“salah” , akan diperoleh , dengan adalah energi yang
sebenarnya (true energy).
Kita coba terapkan metode variasi dengan
menggunakan fungsi gelombang coba-coba yang mirip dengan fungsi gelombang
orbital 1s untuk atom H:
Andaikan kita terapkan fungsi coba-coba
ini untuk menerapkan metode variasi pada atom H. Operator Hamiltonian untuk
sistem ini:
Karena fungsi gelombang coba-coba tidak
mengandung sudut, maka kita bisa hilangkan suku-suku yang mengandung sudut dari
Laplacian:
Kita tidak menggunakan persamaan
Schrödinger , melainkan memasukkannya ke dalam perhitungan energi
rata-rata, atau energi yang teramati:
Kita tentukan dulu Lapacian dari fungsi
gelombang coba-coba:
Substitusikan ke dalam persamaan energi
rata-rata:
Kita gunakan aturan integrasi berikut:
sehingga diperoleh
Kita minimalkan energi di atas, dengan
membuat turunannya terhadap b bernilai nol.
Masukkan kembali nilai b ke ungkapan
energi,
Ternyata energinya sama dengan energi
elektron atom H menurut teori Bohr.
Soal Bab 4: 1-6, 8, 10, 11
Bab 5 Atom Yang Lebih Rumit
Kita akan lihat pendekatan yang dapat
diterapkan pada atom He.
5.1 Atom He
Kita akan lihat amat mudah membuat
persamaan Schrodinger untuk atom He, tetapi amat sulit menyelesaikannya.
Hamiltonian:
Persamaan gelombang Schrodinger:
Dalam atom hidrogen hanya terdapat satu
besaran jarak sehingga mudah mengubahnya menjadi koordinat polar. Kehadiran r12 menyebabkan sulitnya
mengubah koordinat menjadi koordinat polar.
Salah satu pendekatan adalah membuat
gelombang coba-coba dan menerapkan metode variasi untuk menyelesaikannya.
Andaikan fungsi gelombang coba-coba yang dipilih adalah
Nilai Z’ pastilah lebih kecil dari 2,
karena tarikan inti dilemahkan oleh adanya tolakan antar elektron. Untuk He+
nilainya tepat 2, karena spesi ini berupa spesi serupa atom H (hydrogen-like
atom) yang tak memiliki tolakan antar elektron.
Post a Comment