» » Unlabelled » Laporan PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN Ax=B

A+ A-
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN Ax=B
(Laporan Praktikum Fisika Komputasi)













Oleh :

Fransiskus Armanto
1317041015












LABORATORIUM PEMODELAN FISIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2013
Judul Percobaan                      :    Penyelesaian Persamaan Linear Simultan Ax=B
Tanggal Percobaan                  :    12  Maret  2013
Nama                                       :    Fransiskus Armanto
NPM                                       :    1317041015
Jurusan                                    :    Fisika
Fakultas                                   :    MIPA
Kelompok                               :    Satu (I)





Bandar Lampung, 12 Maret 2013
          Mengetahui,
    Asisten

 














i
 

 
I.       PENDAHULUAN




A.      Latar Belakang


Pada percobaan ini kita akan melakukan percobaan untuk penyelesaian persamaan linier simultan, Ax=B. Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan penyelesaian persamaan linear simultan akan sangat membantu kita dengan metode-metode yang telah ada. Dalam berbagai situasi dimana sisem fisis dapat dinyatakan dalam bentuk sisem persamaan, misalnya pada analisis rangkaian  listrik, keseimbangan gaya pada suatu struktur bangunan dan sebagainya. Apabila dikaitkan dengan sistem persamaan differensial dx/dt = f(x,t), maka syarat sistem pada keadaan stabil adalah dx/dt = 0. Sehingga menghasilkan sistem persamaan f(x,t) = 0. Persamaan linear adalah sebuah persamaan dimana persamaan ini merupakan persamaan yang tetap atau merupakan produk dari persamaan yang variabel berada di dalamnya. Contohnya, sebuah persamaan yang terdiri dari angka puluhan untuk disetarakan dengan angka nol. Persamaan ini dikatakan linear sebab mereka digambarkan dalam garis lurus di koordinat Kartesius. Beberapa tehnik untuk menyelesaikan persamaan linear (SPL) adalah dengan metode Eliminasi Gauss, Metode Eliminasi Gauss Jordan, Metode Faktorisasi Crout dan Metode Eliminasi Gauss-Seidel. Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar sama dengan satu.
B.      
2
 
2
 
Tujuan Percobaan


Adapun tujuan dari percobaan ini adalah sebagai berikut :
1.         Mahasiswa memahami berbagai metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, Gauss-Jordan dan Gauss-Seidel.
2.         Mahasiswa dapat membuat program untuk menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, Gauss-Jordan dan Gauss-Seidel.
3.         Mahasiwa dapat menyelesaikan masalah- masalah fisika menyangkut penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan metode eliminai Gauss, Gauss-Jordan dan Gauss-Seidel.




II.      TINJAUAN PUSTAKA




Unuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer atau invers matriks. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variable dan jumlah persamaannya di bawah 4. Tetapi bila ukurannya lebih besar maka metode-metode di atas menjadi sulit dilakukan,sehingga pemakaian metode numerik menjadi alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan anatara lain :
  1. Metode eliminasi Gauss
  2. Metode eliminasi Gauss-Jordan
  3. Metode iterasi Gauss-Saidel
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matriks. Metode eliminasi Gauss pada prinsipnya bertujuan mentransformasikan sistem Ax =B menjadi sistem Ux = y. Dengan U adalah matriks segitiga atas, selanjutnya solusi x dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur (Munir, 2006).



Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat antara lain Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas, Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada

4
 
bn ≠ 0, dan Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan antara lain Metode Eliminasi Gauss, Metode Eliminasi Gauss-Jordan, dan Metode Iterasi Gauss-Seidel (Aminudin, 2009).



Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas. aij  untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan, xi  untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan. Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi  untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.






AX = B
Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.
Vektor x = vektor variabel
Vektor B = vektor konstanta.
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi diantaranya tidak mempunyai solusi, tepat satu solusi, dan banyak solusi. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat seperti Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas, Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector

5
 
konstanta B tidak nol atau ada bn ¹ 0, dan Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Dan matriks diubah menjadi augmented matrik :

 









Kita mengubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer yaitu Multiply an equation through by an nonzero constant, Interchange two equation, dan Add a multiple of one equation to another.  Untuk metode Gauss Jordan, Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal. Sedangkan untuk metode Gauss Seidel yaitu Metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara serentak atau simultan (Ramadijanti, 2008).



A dan B jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan A bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat dirubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila A dan B adalah nol. y = mx + b,\, dimana m merupaka gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-
6
 
y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik. x = \frac{y}{m} + c, dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini untuk mencari titik koordinat xdimana nilai y sudah diberikan (Aryuanda, 2006).
















i
 
III.        LISTING PROGRAM




A.       Metode Eliminasi Gauss

%n=dimensi matriks
%A=matriks koefisien
%b=vektor ruas kanan
%x=vektor penyelesian

function x=GAUSS(n,A,b)
vb=(1:n);
for i=1:n-1
    ib=vb(i);   %proses pivoting
    maxi=abs(A(ib,i));
    bar=i;
    ibx=ib;                                              
    for bars=i+1:n
        ib=vb(bars);
        if(abs(A(ib,i)))>maxi
            maxi=abs(A(ib,i));
            bar=bars;
            ibx=ib;
        end
    end
    ib=vb(i);
    vb(i)=ibx;
    vb(bar)=ib;

    ib=vb(i);   %proses eliminasi
    for j=i+1:n
        ibx=vb(j);
        m=-A(ibx,i)/A(ib,i);
        for k=i:n
            A(ibx,k)=A(ibx,k)+m*A(ib,k);
        end
        b(ibx)=b(ibx)+m*b(ib);
    end
end
ib=vb(n);   %subtitusi balik
x(n)=b(ib)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
    ib=vb(i);
    sum=b(ib);
    for j=i+1:n
        sum=sum-A(ib,j)*x(j);
    end
    x(i)=sum/A(ib,i);
end
return

%SPL-sistem persamaan linier
clear;help splgaus;
A=input('matriks A:');
b=input('vektor kolom b:');
n=length(b);
x=GAUSS(n,A,b);
x



B.       Metode Gauss-Jordan
9
 
function x=GJORD(n,A,b)
%fungsi untuk melakukan eliminasi Gauss-Jordan
%untuk menyelesaikan SPL Ax=b
%n=dimensi matriks
%b=vektor ruas kanan
vb=(1:n);
for kol=1:n
    for bar=1:n
        if(kol==bar)
            %proses vipoting
            ib=vb(kol);
            maxi=abs(A(ib,kol));
            i=kol;
            ibx=ib;
            for bars=i+1:n
                ib=vb(bars);
                if(abs(A(ib,kol)))>maxi
                    maxi=abs(A(ib,kol));
                    i=bars;
                    ibx=ib;
                end
            end
            ib=vb(kol);
            vb(kol)=ibx;
            vb(i)=ib;
        else
            %proses eliminasi
            ib=vb(bar);
            ibx=vb(kol);
            m=-A(ib,kol)/A(ibx,kol);
            for j=kol:n
                A(ib,j)=A(ib,j)+m*A(ibx,j);

 
            end
            b(ib)=b(ib)+m*b(ibx);
        end
    end
end
%nilai elemen X
for i=1:n
    ib=vb(i);
    x(i)=b(ib)/A(ib,i);
end
return

%SPL-sistem persamaan linier
clear;help spljord;
A=input('matriks A:');
b=input('vektor kolom:');
n=length(b);
x=GJORD(n,A,b);
x

C.      Metode Gauss-Seidel

function x=SEIDEL(n,A,b)
%fungsi untuk melakukan iterasi Gauss-Seidel
%mencari solusi sistem persamaan linier Ax=b
%n=dimensi vektor x
%A=matriks koefisien
%x=vektor variabel
%b=vektor ruas kanan
%pivoting matriks A
vb=1:n;
for i=1:n
    ib=vb(i);
11
 
    bar=i;
    ibx=ib;
    m=abs(A(ib,i));
    for j=i+1:n
        ib=vb(j);
        if(abs(A(ib,i))>m)
            m=abs(A(ib,i));
            bar=j;
            ibx=ib;
        end
    end
    ib=vb(i);
    vb(i)=ibx;
    vb(bar)=ib;
end
%proses iterasi
k=0;
for i=1:n
    xk(i)=0.0;
end
tol=5.0e-5;
delta=1.6e-4;
maxstep=300;
while((k<maxstep)&(delta>tol))
    for i=1:n
        ib=vb(i);
        m=b(ib);
        for j=i+1:n
            m=m-A(ib,j)*xk(j);
        end
        for j=1:i
            if(i==j)
12
 
                x(i)=m/A(ib,i);
            else
                m=m-A(ib,j)*x(j);
            end
        end
    end
    %periksa error
    delta=0.0;
    for i=1:n
        a=(x(j)-xk(i));
        dx(i)=abs(a);
        xk(i)=x(i);
        if(dx(i)>delta)
            delta=dx(i);
        end
    end
    k=k+1;
    fprintf('iterasi ke-%g',k);
    x
end
return

%SPL-sistem persamaan linier
clear;help splseid;
A=input('matriks A:');
b=input('vektor kolom b:');
n=length(b);
x=SEIDEL(n,A,b);
x
IV.   HASIL RUNNING DAN PEMBAHASAN




A.      Hasil Running


Program yang dibuat pada praktikuim kali ini hanya satu program. Program ini adalah program untuk menyelesaikan persamaan matriks 3 dimensi menggunakan metode Gauss. Berikut ini adalah hasil runningnya:

 

























Setelah memasukkan nilai parameter-parameter persamaan dalam bentuk matriks Hasil running memberikan keluran untuk nilai x1, x2, dan x3.


B.      
14
 
Pembahasan


Hasil yang didapat di atas diperoleh dari program yang dibuat dengan bentuk dan susunan sebagai berikut:




 










































 
Program dimulai dengan komentar untuk menjelaskan variabel-variabel yang akan dipakai dimana untuk menulis komentar harus diawali dengan tanda %. Kemudian penandaan fungsi, yaitu fungsi matriks Gauss yang memerlukan inputan dari layar berupa n (dimensi matriks), A (matriks koefisien), b (vektor ruas kanan).
Bagian selanjutnya adalah bagian untuk proses pivoting menggunakan bentuk pengulangan for. Pada bagian ini gunanya adalah untuk mereduksi matriks masukan n dimensi (3 dimensi) menjadi matrik yang memiliki komponen bagian diagonal ke atas yang tidak sama dengan nol.
Setelah proses tersebut, proses selanjutnya dari program adalah proses eliminasi untuk menentukan nilai Aij yang bawah dan berantai ke atas pada. Matriks A. Proses ini juga menggunakan pengulangan for.
Bagian terakhir adalah proses subtitusi balik yang juga menggunakan pengulangan for. Pengulangan for pada masing-masing bagian (pivoting, eliminasi dan subtitusi) memiliki instruksi-instruksi yang spesifik sesuai dengan kerja dan rumus dasar dari eliminasi Gauss. Subtitusi balik akan menghasilkan nilai x1, x2, x3.

Bahan yang menjadi acuan bahwa persamaan linear adalah suatu persamaan yang pada saat digambar kurvanya berupa garis lurus. Sedangkan system persamaan linear adalah suatu sistem yang didalamnya terdiri dari minimal 2 persamaan linear. Menyelesaikan persamaan linear sama artinya dengan mencari titik potong antara persamaan-persamaan yang diketahui. Eliminasi Gauss merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan system persamaan linear. Proses untuk membawa matrik asal ke matrik satuan menggunakan
operasi baris elementer. Operasi baris elementer adalah:
1. Menjumlah/mengurangi suatu baris dengan k kali baris yang
lain. k adalah konstanta real.
2. Mengalikan/membagi suatu baris dengan k. k adalah konstanta real. Cara ini banyak dipakai jika sistem persamaan linear diselesaikan secara manual. Tujuannya adalah untuk mempersingkat bentuk persamaan. Untuk mempermudah proses, matrik terlebih dahulu dibawa ke bentuk matrik segitiga atas/bawah, kemudian ke bentuk matrik diagonal, dan akhirnya ke matrik satuan. Gambaran program secara umum:
16
 
for k=1:ba-1
for i=ba:-1:k+1
p=eg(i,k)/eg(i-1,k);
for j=1:kolom
eg(i,j)=eg(i,j)-p*eg(i-1,j);
end
end
end
Untuk membuat matrik segitiga atas menjadi matrik diagonal, tinggal
melakukan modifikasi terhadap skrip diatas, sehingga didapat:
for k=ba:-1:2
for i=1:k-1
p=eg(i,k)/eg(i+1,k);
for j=1:kolom
eg(i,j)=eg(i,j)-p*eg(i+1,j);
end
end
end
Akhirnya skrip untuk mengubah matrik menjadi matrik diagonal
adalah sebagai berikut:
for i=1:ba
if eg(i,i)~=1
eg(i,kolom)=eg(i,kolom)/eg(i,i);
eg(i,i)=1;
end
end


V.      KESIMPULAN




Setelah melakukan percobaan ini dengan proses running dan analisa, maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1.        Menyelesaikan persamaan linear sama artinya dengan mencari titik potong antara persamaan-persamaan yang diketahui.
2.        Proses untuk membawa matrik asal ke matrik satuan menggunakan operasi baris elementer.
3.        Subtitusi balik akan menghasilkan nilai x1, x2, x3.
4.        Proses eliminasi untuk menentukan nilai Aij dari bawah kemudian  berantai ke atas dalam matriks A.















DAFTAR PUSTAKA




Aminudin, 2009. Penyelesaian Persamaan Linear Simultan. Di acces pada 25 April 2013.  http://aminudin21.blogspot.com.


Aryuanda. 2006. Dasar Pemrograman MATLAB. Bandung : ITB.


Munir, rinaldi. 2006. Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.


Ramadijanti, Nana, 2009. Penyelesaian Persamaan Linear Simultan. Di acces pada 25 April 2013. http://lecturer.eepis-its.edu.













LAMPIRAN
DAFTAR ISI




LEMBAR PENGESAHAN........................................................................     i
ABSTRAK..................................................................................................   ii
DAFTAR ISI...............................................................................................   iii
I.         PENDAHULUAN
A.      Latar Belakang …………………….....................................  1
B.       Tujuan Percobaan..................................................................  2
II.      TINJAUAN PUSTAKA
III.   LISTING PROGRAM
A.       Metode Eliminasi Gauss......................................................   7
B.       Metode Gauss Jordan...........................................................   8
C.       Metode Gauss Seidel............................................................  9
IV.   HASIL RUNNING DAN PEMBAHASAN
A.       Hasil Running......................................................................   13
B.       Pembahasan..........................................................................   14
V.      KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
iii
 
LAMPIRAN
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN Ax=B

Oleh
Shella Windi Oktivianty

ABSTRAK

ii
 
Telah dilakukan praktikum program matlab untuk Penyelesaian Persamaan Linear Simultan pada tanggal 3 Mei 2013 di Laboratorium Fisika Komputasi, Jurusan Fisika FMIPA Unila. Praktikum ini berisi pembuatan program untuk menyelesaikan persamaan linier yang terdiri dari 3 variabel menggunakan metode eliminasi Gauss. Program yang dibuat terdiri dari bagian input, pivoting, eliminasi dan subtitusi baris. Konsep perhitungan mengacu pada konsep dasar penyelesaian persamaan Gauss pada buku panduan praktikum. Program yang dibuat telah berhasil menyelesaikan kasus persamaan yang diberikan. Hasil ini sangat bermanfaat untuk membantu penyelesaian persamaan linear yang sulit untuk diselesaikan dengan perhitungan tangan, lebih praktis.
9:32 AM

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)
 
Top